Краткое сравнение. Для чего использовать.

Использовать Retrofit:

• когда нужно стандартная реализаци REST API для парсинга JSON
• реализация без кастомным запросов, запросов с приоритетом, кэширования, повторов etc.

Использовать Volley:

• необычные требования к запросам
• возможно, будет необходимость расширения функциональности вашего REST API в дальнейшем

NB: Если необходимо загружать большие файлы или потоки, то не следует использовать ни то ни другое. Используйте Download Manager

Retrofit

Свойства:

• made in Square
• не поддерживает обработку изображений (хорошо использовать для этого Picasso (см. ссылки о Picasso vs Glide ниже))
• использует пул потоков, параллельные запросы и библиотеку OkHttp
• приоритезация, отмена, повторные запросы - вручную (в Retrofit 2 немного удобнее)
• полная поддержка POST-запросов и multipart загрузок файлов
• Retofit 2 работает с RxJava проще (with Observable types)
• HTTP-запросы описываются через аннотации, синхронные и асинхронные вызовы REST-методов, данные могут передаваться в виде JSON, XML, Protobuf. С этой библиотекой на пару умеет работать RoboSpice.

Итак, Retrofit - библиотека REST-клиент для работы в Android.

Подключение:

compile 'com.squareup.retrofit2:retrofit:2.3.0'

Volley

Свойства:

• made in Google
• поддерживает минимальный функционал обработки изображений (для более полного функционала, можно использовать Glide, + о Glide см. тут, + отличия Glide от Picasso тут или тут или наглядно тут)
• использует пул потоков, параллельные запросы и библиотеку OkHttp
• гибкий механизм кеширования (который хорошо подходит для Glide)
• поддерживает выставление приоритетов, отмену запросов, повторные запросы - используя для этого немного кода
• поддерживает POST-запросы (но необходимо конвертировать Java-объекты в JSON-объкты используя, например, библиотеку Gson), также поддерживает multipart загрузки, но, предоставляя большую гибкость, api не такой отполированный, как у Retrofit’а

Слухи

• (UPD: 26.08.2017) Google как-то склоняется к Retrofit (вывод по примерам, которые они показывают в своих же лекциях), что делает им честь, конечно. Но всегда нужно помнить о разных условиях, в которых лучше применять одну или вторую библиотеки.